Question

已知F是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左焦點，B₁B₂是雙曲線的虛軸，M是OB₁的中點，過F，M的直線交雙曲線C于點A，且

FM

=2

MA

，則雙曲線C的離心率是

5

2

．

Answer 1

分析：設A（x₀，y₀），由題設知M（0，

b

2

），F（-c，0），故

FM

=(c，

b

2

)，

MA

=(x0，y0-

b

2

)，由

FM

=2

MA

，解得x0=

c

2

，y₀=

3

4

b，把A（

c

2

，

3

4

b）代入雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，能夠求出雙曲線C的離心率．

解答：解：設A（x₀，y₀），
由題設知M（0，

b

2

），F（-c，0），
∴

FM

=(c，

b

2

)，

MA

=(x0，y0-

b

2

)，
∵

FM

=2

MA

，
∴c=2x

0

，

b

2

=2(y0-

b

2

)，
解得x0=

c

2

，y₀=

3

4

b，
∵A（

c

2

，

3

4

b）在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)上，
∴

c2 4

a2

-

9 16 b2

b2

=1，
∴

c2

a2

=

25

4

，
∴雙曲線C的離心率e=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量性質的靈活運用．