Question

已知雙曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足|

OA

|、|

OB

|、|

OF

|成等比數列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．
（1）求證：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可表示出l的方程，與漸近線方程聯立求得交點P的坐標，根據|

OA

|、|

OB

|、|

OF

|成等比數列，求得A的坐標，進而表示出

PA

，

OP

和

FP

，進而求得

PA

•

OP

和

PA

•

FP

進而可知

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）把直線l的方程與雙曲線方程聯立，進而根據韋達定理表示出x₁•x₂根據其小于0，求得a和c的不等式關系求得e的范圍．

解答：解：（1）l：y=-

a

b

(x-c)，

y=- a b (x-c) y= b a x

解得P(

a2

c

，

ab

c

)．
∵|

OA

|、|

OB

|、|

OF

|成等比數列，
∴A(

a2

c

，0)∴

PA

=(0，-

ab

c

)

OP

=(

a2

c

，

ab

c

)，

FP

=(-

b2

c

，

ab

c

)，
∴

PA

•

OP

=-

a2b2

c2

，

PA

•

FP

=-

a2b2

c2

．
∴

PA

•

OP

=

PA

•

FP

（2）

y=- a b (x-c) b2x2-a2y2=a2b2

，
∴b2x2-

a4

b2

(x-c)2=a2b2．
即(b2-

a4

b2

)x2+2

a4

b2

cx-(

a4c2

b2

+a2b2)=0，
∵x1•x2=

-( a4c2 b2 +a2b2)

b2- a4 b2

＜0，
∴b⁴＞a⁴，即b²＞a²，c²-a²＞a²．∴e²＞2，即e＞

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和對圓錐曲線基礎知識的靈活運用．