Question

已知F（c，0）是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點，若雙曲線C的漸近線與圓E：(x-c)2+y2=

1

2

c2相切，則雙曲線C的離心率為

2

．

Answer 1

分析：求出雙曲線C的漸近線方程的一般式，再根據點F（c，0）到漸近線距離等于圓E的半徑，列出關于a、b、c的等式，解之可得c=

2

a，從而得到雙曲線C的離心率．

解答：解：∵雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，即bx±ay=0
又∵圓E：(x-c)2+y2=

1

2

c2的圓心為F（c，0），半徑為

2

2

c
∴由雙曲線C的漸近線與圓E相切，得

|bc|

b2+a2

=

2

2

c，
整理，得b=

2

2

c，即

c2-a2

=

2

2

c，可得c=

2

a
∴雙曲線C的離心率e=

c

a

=

2

故答案為：

2

點評：本題給出雙曲線的漸近線與圓相切，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關系和雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．