Question

已知函數f（x）在R上滿足f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是     ．

Answer 1

【答案】分析：先根據f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8求出函數f（x）的解析式，然后對函數f（x）進行求導，進而可得到y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程的斜率，最后根據點斜式可求導切線方程．
解答：解：∵f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，
∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）²+8（2-x）-8．
∴f（2-x）=2f（x）-x²+4x-4+16-8x-8．
將f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8
得f（x）=4f（x）-2x²-8x+8-x²+8x-8．
∴f（x）=x²，f'（x）=2x
∴y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為y′=2．
∴函數y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=2（x-1），
即y=2x-1．
答案y=2x-1
點評：本題主要考查求函數解析式的方法和函數的求導法則以及導數的幾何意義．函數在某點的導數值等于該點的切線方程的斜率．