Question

已知函數f（x）在R上滿足2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是

2x-y-1=0

．

Answer 1

分析：令x=1-x代入所給的式子化簡后求出f（1-x），再代入所給的式子求出f（x），再求出f′（x），再求出f′（1）和f（1），代入點斜式方程，再化為一般式直線方程．

解答：解：令x=1-x代入2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1得，
2f（1-x）+f（x）=3（1-x）²-2（1-x）+1=3x²-4x+2，
∴f（1-x）=

1

2

[（3x²-4x+2）-f（x）]，
代入2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1，
得f（x）=x²，則f′（x）=2x，
∴f′（1）=2，f（1）=1，
∴切線方程為：y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
故答案為：2x-y-1=0．

點評：本題考查了導數的幾何意義，在切點處的導數值是切線斜率，求切線方程，以及賦值法函數解析式的求法．