Question

雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．
（2）利用第（1）的結(jié)論，設(shè)出雙曲線的方程，將AB方程代入，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式，求出待定系數(shù)，可求出雙曲線方程．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為由，同向，
∴漸近線的傾斜角為（0，），
∴漸近線斜率為：
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴
∴
可得：，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=
而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan
∴；
∴
∴
（2）由第（1）知，a=2b，可設(shè)雙曲線方程為-=1，c=b，
∴AB的直線方程為 y=-2（x-b），代入雙曲線方程得：15x²-32bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
4=，16=-，
∴b²=9，所求雙曲線方程為：-=1．
點(diǎn)評：做到邊做邊看，從而發(fā)現(xiàn)題中的巧妙，如據(jù)，聯(lián)想到對應(yīng)的是2漸近線的夾角的正切值．