Question

雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l₁、l₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線分別交l₁、l₂于A、B兩點(diǎn)。已知成等差數(shù)列，且與同向。
（1）求雙曲線的離心率；
（2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程。

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線方程為
右焦點(diǎn)為F（c，0）（c>0），則
不妨設(shè)l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0，
則

因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110906/201109061137099431899.gif">
所以
于是得
又同向
故
所以
解得（舍去）
因此
所以雙曲線的離心率。
（2）由a=2b知，雙曲線的方程可化為  ①
由l₁的斜率為知，直線AB的方程為 ②
將②代入①并化簡，得
設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
  ③
AB被雙曲線所截得的線段長
 ④
將③代入④，并化簡得
而由已知l=4，故b=3，a=6
所以雙曲線的方程為。