Question

雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．已知成等差數列，且與同向，
(Ⅰ)求雙曲線的離心率；
(Ⅱ)設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)設雙曲線方程為，
右焦點為F(c，0)(c＞0)，則c²=a²+b²，
不妨設l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0，
則，
因為，且，
所以，
于是得，
又與同向，故，
所以，
解得或（舍去），
因此，
雙曲線的離心率為。
(Ⅱ)由a=2b知，雙曲線的方程可化為x²-4y²=4b²， ①
由l₁的斜率為知，直線AB的方程為，②
將②代入①并化簡，得，
設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
則，③
AB被雙曲線所截得的線段長
，④
將③代入④，并化簡得l=，
而由已知l=4，故b=3，a=6，
所以雙曲線的方程為。