Question

【題目】某工藝品廠要生產如圖所示的一種工藝品，該工藝品由一個實心圓柱體和一個實心半球體組成，要求半球的半徑和圓柱的底面半徑之比為，工藝品的體積為。現設圓柱的底面半徑為，工藝品的表面積為，半球與圓柱的接觸面積忽略不計。

（1）試寫出關于的函數關系式并求出的取值范圍；

（2）怎樣設計才能使工藝品的表面積最小？并求出最小值。

參考公式：球體積公式：；球表面積公式：，其中為球半徑.

Answer 1

【答案】（1）；（2）按照圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，半球的半徑為設計，工藝品的表面積最小，為.

【解析】

（1）由題知設圓柱的底面半徑為2x，半球的半徑為3x．設圓柱的高為h．通過工藝品的體積，求出圓柱的高與底面半徑的關系，然后寫出S關于x的函數關系式；

（2）利用（1）的表達式，通過導數，求出極值點，說明高、底面半徑、球的半徑的數值使工藝品的表面積最小．

（1）由題知設圓柱的底面半徑為，半球的半徑為，設圓柱的高為。

∵工藝品的體積為，∴，∴，

∴工藝品的表面積為

。

∵，且，∴，

∴。

（2）由（1）知，，

令，得，列表：

		1
		0	+
	↘		↗

∴在遞減，在遞增.

∴，此時，

答：按照圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，半球的半徑為設計，工藝品的表面積最小，為.