Question

已知向量

m

=（cosA，-sinA），

n

=（cosB，sinB），

m

•

n

=cos2C，其中A、B、C為△ABC的內角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若AB=6，且

CA

•

CB

=18，求AC、BC的長．

Answer 1

分析：（I）

m

•

n

=cos2C，由向量數量積公式，結合二倍角的余弦公式化簡得2cos²C+cosC-1=0，解出cosC=

1

2

，結合C∈（0，π）可得角C的大小；
（II）由

CA

•

CB

=18利用向量的數量積公式算出

|CA|

•

|CB|

=36，根據余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC=36，化簡得AC+BC=12，兩式聯解即可算出AC、BC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（cosA，-sinA），

n

=（cosB，sinB），
∴

m

•

n

=cos2C，即cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=cos2C，…（2分）
化簡得：2cos²C+cosC-1=0，…（4分）
故cosC=

1

2

（cosC=-1舍去）
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．       …（7分）
（Ⅱ）∵

CA

•

CB

=18，∴

|CA|

•

|CB|

cos

π

3

=36，即

|CA|

•

|CB|

=36． ①…（9分）
由余弦定理得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=36，
化簡得：AC+BC=12  ②…（12分）
聯解①②，可得AC=BC=6．                                 …（14分）

點評：本題給出向量含有三角函數的坐標，在已知數量積的情況下解三角形ABC．著重考查了向量的數量積公式、解三角形等知識，屬于中檔題．