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已知向量
m
=（cosθ，sinθ）和
n
=（
2
-sinθ，cosθ），θ∈[π，2π]．
（1）求|
m
+
n
|的最大值；
（2）當|
m
+
n
|=
8
2
5
時，求cos（
θ
2
+
π
8
）的值．
分析：（1）根據向量的三角形法則求出
m
與
n
的和，然后求出
m
+
n
的模，化簡后利用特殊角的三角函數值及兩角和的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，根據根據θ的范圍得到余弦函數的值域，即可得到|
m
+
n
|的最大值；
（2）由|
m
+
n
|=
8
2
5
及第一問求得的關系式得到cos（θ+
π
4
）的值，然后根據θ的范圍求出
θ
2
+
π
8
的范圍，利用二倍角的余弦函數公式即可求出cos（
θ
2
+
π
8
）的值．
解答：解：（1）
m
+
n
=（cosθ-sinθ+
2
，cosθ+sinθ），
|
m
+
n
|=
(cosθ-sinθ+
2
)2+(cosθ+sinθ)2

=
4+2
2
(cosθ-sinθ)

=
4+4cos(θ+
π
4
)

=2
1+cos(θ+
π
4
)

∵θ∈[π，2π]，
∴
5π
4
≤θ+
π
4
≤
9π
4
，
∴cos（θ+
π
4
）≤1，|
m
+
n
|max=2
2
．

（2）由已知及（1）得|
m
+
n
|=
8
2
5
=2
1+cos(θ+
π
4
)
，
兩邊平方化簡得cos（θ+
π
4
）=
7
25
．
又cos（θ+
π
4
）=2cos2（
θ
2
+
π
8
）-1，
∴cos2（
θ
2
+
π
8
）=
16
25
，
∵θ∈[π，2π]，
∴
5π
8
≤
θ
2
+
π
8
≤
9π
8
，
∴cos（
θ
2
+
π
8
）=-
4
5
．
點評：此題考查學生掌握向量的加法法則及向量模的求法，靈活運用兩角和與差的余弦函數公式、二倍角的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．學生做題時應注意角的范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（cosθ，sinθ）和
n
=（
2
-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π）且|
m
+
n
|=
8
2
5
，則cos(
θ
2
+
π
8
)=
-
4
5
-
4
5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
.
m
=（cosωx，sinωx），
.
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx），ω＞0，函數f（x）=
.
m
•
.
n
+|
.
m
|，且函數f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2

（1）作出函數y=f（x）-1在[0，π]上的圖象
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，f（A）=2，c=2，S△ABC=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•綿陽二模）已知向量
m
=（cosωx，sinωx），
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函數f（x）=|
m
|+
m
•
n
且最小正周期為π，
（1）求函數，f（x）的最大值，并寫出相應的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且f（B）=2，c=3，S△ABC=6
3
，求b的值．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河南省豫東、豫北十所名校高三測試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=（cos A，cos B），n=（2c+b，a），且m⊥n．

    （I）求角A的大小；

    （Ⅱ）若a=4，求△ABC面積的最大值．

 

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