Question

已知函數f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．
(1)求f(x)的單調區間；
(2)設g(x)＝x²－4x＋2，若對任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為   (2)

(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．
①當a≥0時，由于x＞0，故ax＋1＞0，
f′(x)＞0，
所以f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)．
②當a＜0時，由f′(x)＝0，得x＝－.
在區間上，f′(x)＞0，在區間上，f′(x)＜0，所以函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
(2)由題意得f(x)_max＜g(x)_max，而g(x)_max＝2，
由(1)知，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，值域為R，故不符合題意．
當a＜0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，
故f(x)的極大值即為最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.
故a的取值范圍為.