Question

已知.
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）設(shè)，，且，證明：.

Answer 1

（1）0；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的綜合解題能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值；第二問(wèn)，根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論將定義域分成2部分，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減，所以，所以一定小于1，當(dāng)時(shí)，只需證明即可，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，求出的最小值為0，所以，所以，即.
試題解析：（Ⅰ）．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以的最大值為．       5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，．     7分
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，，則，
從而當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，即．
綜上，總有．        12分