Question

已知函數f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx．
（1）若兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直，求a的值，并判斷函數F（x）=f（x）-g（x）的單調性并寫出其單調區間；
（2）若函數的圖象與直線y=x至少有一個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直，利用導數研究曲線上某點切線的斜率求出a值，再利用導數法求函數的單調遞增區間．
（2）由于ϕ（x）=，令h（x）=ϕ（x）-x，由題意得h（x）=0在區間（0，+∞）上至少有一解，下面利用導數工具結合分類討論思想研究此函數的單調性，最后綜合得出a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意：g′（x）=，∴g（x）的圖象在x=2切線的斜率為：g′（2）=，
又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的圖象在x=2切線的斜率為：f′（2）=2，
由兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直得：
，∴a=-1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）²+lnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x+-2≥2-2＞0
即函數F（x）在（0，+∞）上為增函數，
（2）ϕ（x）=
令h（x）=ϕ（x）-x，由題意得h（x）=0在區間（0，+∞）上至少有一解，，令h'（x）=0，得
①當＜0即a＜0時，h（x）單調遞增區間為（0，1），減區間為（1，+∞），
所以h（x）_max=h（1）=-1＜0，所以方程h（x）=0無解．
②當＞1即時，h（x）單調遞增區間為（0，1），（，減區間為（1，），所以極大值h（1）=-1，極小值，
又h（x）=
∴，所以方程恰好有一解；
③當時，h'（x）≥0，由上②知方程也恰好有一解；
④當時，h（x）單調遞增區間為（0，），（1，+∞），減區間為（，1），
同上可得方程h（x）=0在（0，+∞）上至少有一解．
綜上所述，所求a的取值范圍為（0，+∞）
點評：本題以函數為載體，考查函數的解析式，考查函數的單調性，考查函數的零點與方程根的關系，注意利用導數工具的應用．