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a為實數,函數f(x)=ex-2x+2ax∈R.

(1)求f(x)的單調區間與極值;

(2)求證:當a>ln2-1且x>0時,ex>x2-2ax+1.

解析 (1)由f(x)=ex-2x+2ax∈R,知f′(x)=ex-2,x∈R.

f′(x)=0,得x=ln2.于是當x變化時f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-∞,ln2)

ln2

(ln2,+∞)

f′(x)

0

f(x)

2(1-ln2+a)

f(x)的單調遞減區間是(-∞,ln2),單調遞增區間是(ln2,+∞).

f(x)在x=ln2處取得極小值,

極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

(2)設g(x)=exx2+2ax-1,x∈R.

于是g′(x)=ex-2x+2ax∈R.

由(1)知當a>ln2-1時,g′(x)最小值g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.

于是對任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R內單調遞增.

于是當a>ln2-1時,對任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).

g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0.

即exx2+2ax1>0,故ex>x2-2ax+1.

練習冊系列答案
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(3)求f(x)的最小值g(a).

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y=-2x
y=-2x

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同步練習冊答案
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