Question

設a為實數，函數f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先對函數f（x）進行求導得到一個二次函數，根據二次函數的圖象和性質令f'（x）≥0在（-∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．

解答：解：f'（x）=3x²-2ax+（a²-1），其判別式△=4a²-12a²+12=12-8a²．
（ⅰ）若△=12-8a²=0，即a=±

6

2

，當x∈（-∞，

a

3

），或x∈（

a

3

，+∞）時，
f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）為增函數．
所以a=±

6

2

．
（ⅱ）若△=12-8a²＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）為增函數，
所以a²＞

3

2

，
即a∈（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）
（ⅲ）若△12-8a²＞0，即-

6

2

＜a＜

6

2

，
令f'（x）=0，
解得x₁=

a- 3-2a2

3

，x₂=

a+ 3-2a2

3

．
當x∈（-∞，x₁），或x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數．依題意x₁≥0且x₂≤1．
由x₁≥0得a≥

3-2a2

，解得1≤a＜

6

2

由x₂≤1得

3-2a2

≤3-a，解得-

6

2

＜a＜

6

2

，從而a∈[1，

6

2

）
綜上，a的取值范圍為（-∞，-

6

2

]∪[

6

2

，+∞）∪[1，

6

2

），
即a∈（-∞，-

6

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，即當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．