Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，且經過點P（1，2）． （Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設點A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，|PM|=|PN|．求直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，設拋物線C的方程為y2=ax（a≠0）．

由拋物線C經過點P（1，2），

得a=4，

所以拋物線C的方程為y2=4x．

（Ⅱ）因為|PM|=|PN|，

所以∠PMN=∠PNM，

所以∠1=∠2，

所以直線PA與PB的傾斜角互補，

所以kPA+kPB=0．

依題意，直線AP的斜率存在，設直線AP的方程為：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），

將其代入拋物線C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．

設A（x1，y1），則x1= ，y1= ﹣2，

所以A（ ， ﹣2）．

以﹣k替換點A坐標中的k，得B（ ，﹣ ﹣2．

所以 kAB= =﹣1，

所以直線AB的斜率為﹣1．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線C經過點P（1，2），求拋物線C的方程；（Ⅱ）由題意，直線PA與PB的傾斜角互補，所以kPA+kPB=0，求出A，B的坐標，即可得出結論．