Question

已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=1，如果對于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）
（1）求f（1），f（4）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）令x=

1

2

，y=1，則有f（

1

2

）=f（

1

2

）+f（1），可解出f（1）=0；同理令x=

1

2

，y=2，令x=y=2，解出f（4）；
（2）由題意可知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，化f（-x）+f（3-x）≥-2為f（-x（3-x））≥f（4），從而利用單調性求解．

解答： 解：（1）令x=

1

2

，y=1，則有f（

1

2

）=f（

1

2

）+f（1），
故f（1）=0；
令x=

1

2

，y=2，則有f（1）=f（

1

2

）+f（2），
解得，f（2）=-1，
令x=y=2，則有f（4）=f（2）+f（2）=-2；
（2）∵對于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），
∴函數f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，
故f（-x）+f（3-x）≥-2可化為f（-x（3-x））≥f（4），
故

-x＞0 3-x＞0 -x(3-x)≤4

，
解得，-1≤x＜0．

點評：本題考查了抽象函數的性質判斷與應用，屬于中檔題．