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已知向量
a
=(3-cos2(x+
π
4
)，-2
2
)，  
b
=(1，sinx+cosx)，x∈[-
3π
4
，
π
4
]，且
a
•
b
=
8
9
，求sin2x的值．
分析：利用平面向量數量積的坐標運算及誘導公式可求得
a
•
b
=2[sin(x+
π
4
)-1]2=
8
9
，從而可求得sin（x+
π
4
）=
1
3
，x∈[-
3π
4
，
π
4
]⇒x+
π
4
∈[-
π
2
，
π
2
]，于是知cos（x+
π
4
）=
2
2
3
，從而可求得sin2x的值．
解答：解：∵
a
•
b
=（3-cos2（x+
π
4
））•1-2
2
（sinx+cosx）
=-cos2（x+
π
4
）-4sin（x+
π
4
）+3
=2sin2(x+
π
4
)-4sin（x+
π
4
）+2
=2[sin(x+
π
4
)-1]2
=
8
9
，
∴sin（x+
π
4
）=
1
3
，
又x∈[-
3π
4
，
π
4
]，
∴x+
π
4
∈[-
π
2
，
π
2
]，
∴cos（x+
π
4
）=
1-sin2(x+
π
4
)
=
2
2
3
，
∴sin2x=-cos（2x+
π
2
）=1-cos2(x+
π
4
)=-
7
9
．
點評：本題考查三角函數的化簡求值，著重考查三角函數中的恒等變換應用及平面向量數量積的坐標運算，考查同角三角函數間的關系及誘導公式、倍角公式的綜合應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
，1)，
b
=(0，1)，
c
=(k，
3
)，若
a
+2
b
與
c
垂直，則k=
-3
-3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(3，5)，
b
=(2，4)，
c
=(-3，-2)，
c
與
a
+λ
b
共線，則λ=
-
9
8
-
9
8
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
.
a
=(3，1)和
.
b
=(-1，3)，若
.
a
•
.
c
=
.
b
•
.
c
，試求模為
5
的向量
.
c
的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
，k)，
b
=（0，-1），
c
=(1，
3
)．
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求k的值；
（Ⅱ）當k=1時，
a
-λ
b
與
c
共線，求λ的值；
（Ⅲ）若|
m
|=
3
|
b
|，且
m
與
c
的夾角為150°，求|
m
+2
c
|

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(3，4)，
c
=(k，0)
（1）若
a
⊥(
a
-
c
)，求k的值；
（2）若k=5，
a
與
a
-
c
所成的角為θ，求cosθ

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