Question

已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑為R.

(1)若α=60°,R=10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積.

(2)若扇形的周長是一定值C（C＞0)，問當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值？并求出這個(gè)最大值.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題可以直接根據(jù)弧長公式與扇形面積公式進(jìn)行解答.

解：(1)設(shè)弧長為l，弓形面積記作S_弓.

由α=60°=,R=10，得

l=|α|·R= (cm),

S_弓=S_扇形-S_三角形=l·R-R²sinα

=××10-×10²×sin

=50(-)(cm²).

(2)∵扇形周長C=2R+l=2R+|α|·R,

∴R=.

∴S_扇形=|α|·R²=|α|()²=×|α|×≤.

∴當(dāng)且僅當(dāng)|α|=時(shí)，即α=2(α=-2舍去)時(shí)，扇形面積有最大值.

［一通百通］ 此類問題是將三角函數(shù)問題與不等式問題進(jìn)行綜合考查的.扇形面積與弧長的計(jì)算是立體幾何中研究折線問題的基礎(chǔ)，在計(jì)算扇形的弧長與面積計(jì)算公式時(shí)都有角度制與弧度制兩種給出方式，其中用弧度制不僅形式易記，而且使用方便，在使用時(shí)注意要把角度都換成弧度，使度量單位一致.