Question

已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．
（1）若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面積；
（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值c（c＞0），當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接求出扇形的面積，求出三角形的面積，然后求出扇形的弧所在的弓形面積；
（2）法一：通過周長(zhǎng)關(guān)系式，化簡(jiǎn)扇形的面積公式，得到關(guān)于α的表達(dá)式，利用基本不等式解答即可．
法二：通過周長(zhǎng)關(guān)系式，化簡(jiǎn)扇形的面積公式，得到關(guān)于弧長(zhǎng)l的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求出最大值，以及圓心角解答即可．
解答：解：（1）設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S_弓，
∵α=60°=，R=10，∴l(xiāng)=π（cm），
S_弓=S_扇-S_△=×π×10-×10²×sin60°
=50（-）（cm²）．

（2）法一：∵扇形周長(zhǎng)c=2R+l=2R+αR，
∴R=，
∴S_扇=α•R²=α（）²=α•
=•≤．
∴當(dāng)且僅當(dāng)α=，即α=2（α=-2舍去）時(shí)，扇形面積有最大值．

法二：由已知2R+l=c，∴R=（l＜c），
∴S=Rl=••l=（cl-l²）
=-（l-）²+，
∴當(dāng)l=時(shí)，S_max=，此時(shí)α===2，
∴當(dāng)扇形圓心角為2弧度時(shí)，扇形面積有最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查扇形的面積公式的應(yīng)用，基本不等式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，利用基本不等式求最值需要滿足“正、定、等”的條件；二次函數(shù)注意x的范圍；考查計(jì)算能力．