Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）當b=

3

時，求

AB

•

CB

的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理代入（2a-c）cosB=bcosC整理可得，2sinAcosB=sin（B+C），利用和角公式展開可求cosB
（II）要求

AB

•

CB

=accosB=

1

2

ac的最大值，需求ac的最大值，由余弦定理得可得a²+c²-ac=3，結合a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，可求得ac的最大值，代入可得答案．

解答：解：（I）由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC?2sinAcosB=sin（B+C）?cosB=

1

2

（4分）
又B∈（0，π），∴B=

π

3

；（6分）
（II）由余弦定理得：a2+c2-2accos

π

3

=3，即a²+c²-ac=3
又a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤3（取=時a=c=

3

）（10分）
∴

AB

•

CB

=accosB=

1

2

ac在a=c=

3

時有最大值為

3

2

．（12分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理及和角公式在解三角形中的應用，還考查了向量的數量積的坐標表示、基本不等式的應用，要解決問題，要求考生熟練掌握基本知識并能靈活運用知識．