Question

【題目】已知f（x）=ex ， g（x）=lnx，若f（t）=g（s），則當s﹣t取得最小值時，f（t）所在區(qū)間是（ ）
A.（ln2，1）
B.（ ，ln2）
C.（ ， ）
D.（ ， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令f（t）=g（s）=a，即et=lns=a＞0， ∴t=lns，s=ea ，
∴s﹣t=ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）=ea﹣ ，
則h′（a）=ea﹣ ，
∵y=ea遞增，y= 遞減，
故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，
0＜a＜a0時，ea＜ ，h′（a）＜0，
a＞a0時，ea＞ ，h′（a）＞0，
∴h（a）min=h（a0），
即s﹣t取最小值是時，f（t）=a=a0 ，
由零點存在定理驗證 ﹣ =0的根的范圍：
a0= 時， ﹣ ＜0，
a0=ln2時， ﹣ ＞0，
故a0∈（ ，ln2），
故選：B．
【考點精析】關于本題考查的指數(shù)函數(shù)的圖像與性質，需要了解a0=1, 即x=0時，y=1，圖象都經過(0，1)點;ax=a，即x=1時，y等于底數(shù)a;在0<a<1時:x<0時，ax>1,x>0時，0<ax<1;在a>1時:x<0時,0<ax<1,x>0時，ax>1才能得出正確答案．