Question

已知橢圓和雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，它們有相同的焦點F₁（-5，0）、F₂（5，0），且它們的離心率e都可以使方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的實根，求橢圓和雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：設出橢圓方程及雙曲線的方程，利用二次方程有兩個相等的實根，令其判別式為0，求出兩個根，據焦點坐標求出橢圓和雙曲線方程．

解答：解：由題意可設橢圓的方程為

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1(a1＞b1＞0)
雙曲線的方程為

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1(a2＞0，b2＞0)
且c₁=c₂=5
設橢圓的離心率為 e₁，0＜e₁＜1，
雙曲線的離心率為e₂，e₂＞1
又e₁，e₂使得方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的實根，
所以△=（1-2e）²-4×（2e-1）=0
解得e=

1

2

，或e=

5

2

，
即e1=

1

2

，e2=

5

2

，
所以可得a1=10，b1=3

5

a2=2，b2=

21

所以所求橢圓方程為

x2

100

+

y2

75

=1，
雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

21

=1

點評：解決橢圓與雙曲線問題要注意橢圓的離心率的范圍為（0，1）；雙曲線離心率的范圍為（1，+∝）．