Question

設m∈N，F(m)表示log₂m的整數部分．

(Ⅰ)求F(1)，F(2)，F(3)；

(Ⅱ)求滿足F(m)＝3的m的值；

(Ⅲ)(文科做)求：F(2ⁿ＋1)＋F(2ⁿ＋2)＋F(2ⁿ＋3)＋…＋F(2ⁿ⁺¹)(n∈N)；

(理科做)求證：F(1)＋F(2)＋F(3)＋…＋F(2ⁿ)＝(n－2)·2ⁿ＋n＋2(n∈N)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵log21＝0，∴F(1)＝0．∵log22＝1，　　∴F(2)＝1， 　　∵1＜log23＜2，∴F(3)＝1． 　　(Ⅱ)當F(m)＝3，設log2m＝3＋a，(0≤a＜1)，　　則m＝23+a． 　　∴23≤m＜24，即8≤m＜16 　　∴m＝8，9，10，11，12，13，14，15等共8個值． 　　(Ⅲ)(文科做)∵F(2n)＝n，F(2n+1)＝n＋1． 　　∴F(2n＋1)＋F(2n＋2)＋F(2n＋3)＋…＋F(2n+1－1)＋F(2n+1) 　　＝ 　　＝n(2n－1)＋n＋1＝n·2n＋1． 　　證明：(理科做)用數學歸納法證明如下： 　　(i)當n＝1時，∵左邊＝F(1)＋F(2)＝0＋1＝1， 　　右邊＝(1－2)·21＋2＋1＝1　　∴等式成立． 　　(ii)假設當n＝k時，等式成立． 　　即F(1)＋F(2)＋F(3)＋……＋F(2k)＝(k－2)·2k＋k＋2． 　　則n＝k＋1時， 　　F(1)＋F(2)＋……＋F(2k)＋F(2k＋1)＋……＋F(2k+1) 　　＝[(k－2)·2k＋k＋2]＋[(2k－1)k＋(k＋1)]＝(k＋1－2)·2k+1＋(k＋1)＋2． 　　這就是說，當n＝k＋1時等式也成立．根據(i)和(ii)可知對任何n∈N等式都成立．