Question

【題目】已知數列數列{an}的通項公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn為其前n項和．

(1)求S1，S2，S3，S4的值；

(2)猜想Sn的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)根據，代入計算，可求的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表達式，再根據數學歸納法的證題步驟進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明時命題也成立即可.

試題解析：(1)依題意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；

(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.

證明：①當n＝1時，猜想顯然成立；

②假設當n＝k時，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，

那么當n＝k＋1時，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．

即n＝k＋1時，猜想也成立．

故由①和②可知，猜想成立.