Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于B、C兩點，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設過點F且不垂直于x軸的直線l與雙曲線分別交于點P、Q，請問：是否存在直線l，使△APQ構成以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x軸，
∴B(c，

b2

a

)，C(c，-

b2

a

)．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴

2b2

a

=6…（4分）
∴a²=1，b²=3，
∴所求雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1．…（6分）
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

，
得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．…（7分）
∵l與雙曲線有兩個交點，故k²-3≠0．
∴

x1+x2= 4k2 k2-3 x1x2= 4k2+3 k2-3

…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
則需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0…（10分）
即(1+k2)

4k2+3

k2-3

+(1-2k2)

4k2

k2-3

+1+4k2=0，
對k∈R，且k≠±

3

恒成立  （12分）
由|AP|=|AQ|得

(x1+1)2+y12=(x2+1)2+y22 ∴x1+x2+2=-k2(x1+x2-4)∴(1+k2) 4k2 k2-3 =4k2-2

解得k2=

1

3

即k=±

3

3

…（14分）
綜上所述，所求直線存在，其方程為y=±

3

3

(x-2)（15分）