Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=2a_n+n．
（1）求證：數列{a_n-1}為等比數列；
（2）若數列{b_n}滿足2bn=(1-an)1-an，試求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n+n，可知當n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1，兩式相減整理即可證明
（2）由（1）可求a_n，代入2bn=(1-an)1-an可求b_n，利用錯位相減求和即可

解答：（1）證明：∵S_n=2a_n+n．
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1．
兩式相減可得，s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1+1
即a_n=2a_n-2a_n-1+1
∴a_n-1=2（a_n-1-1）
∵n=1時，S₁=2a₁+1
∴a₁=-1，a₁-1=-2
∴數列{a_n-1}是以-2為首項，以2為公比的等比數列；
（2）解：由（1）可得an-1=-2•2n-1=-2ⁿ
∴an=1-2n
∵2bn=(1-an)1-an
∴bn=n•2n
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解 數列的通項公式，數列的求和方法：錯位相減求和的應用．