Question

對于數列{a_n}，我們把a₁+a₂+…+a_n+…稱為級數，設數列{a_n}的前n項和為S_n，如果

lim

n→∞

Sn存在，，那么級數a₁+a₂+…+a_n+…是收斂的．下列級數中是收斂的有

 

（填序號）
①1+r+r²+…+r^n-1+…；②

1

2

+

1

6

+…+

1

n2+n

+…；③1+

2

3

+

3

32

+…+

n

3n-1

+…．

Answer 1

分析：由題意對于數列{a_n}，我們把a₁+a₂+…+a_n+…稱為級數，設數列{a_n}的前n項和為S_n，如果

lim

n→∞

Sn存在，，那么級數a₁+a₂+…+a_n+…是收斂的，有收斂的定義可知，只需判斷一下3個數列的前n項和的極限存在即可．

解答：解：對于①，由于r∈R，所以要討論r的值再求前n項喝的極限，（1）當r=0時，此數列為常數列．所以極限存在為0，（2）當r=1時，此數列仍為常數列1，前n項和為n，此時不存在極限，所以①錯；
對于②此數列的通項為

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，此數列的前n項和記為：Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

，
所以

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

n

n+1

=1，極限存在，故此數列收斂，所以②正確；
對于③此數列的通項為

n

3n-1

=b_n，次數列的前n項和為Tn= 1+

2

3

+

3

32

+…  + 

n

3n-1

① 
①×

1

3

得：   

1

3

Tn=

1

3

+ 

2

32

+

3

33

+… +

n

3n

②
利用錯位相減法①-②得：

2

3

Tn=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

1

3n

?Tn=

9

4

-

13

4

• (

1

3

)n，所以

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

[(

9

4

-

13

4

•(

1

3

)n]=

9

4

，極限存在，故此數列收斂，所以③正確．
故答案為：②③．

點評：此題考查了學生對于新定義的理解及計算能力，數列的求和，數列求極限．