Question

我們知道，如果定義在某區間上的函數f（x）滿足對該區間上的任意兩個數x₁、x₂，總有不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)成立，則稱函數f（x）為該區間上的向上凸函數（簡稱上凸）．類比上述定義，對于數列{a_n}，如果對任意正整數n，總有不等式：

an+an+2

2

≤an+1成立，則稱數列{a_n}為向上凸數列（簡稱上凸數列）．現有數列{a_n}滿足如下兩個條件：
（1）數列{a_n}為上凸數列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）對正整數n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b_n=n²-6n+10．
則數列{a_n}中的第五項a₅的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：

an+an+2

2

≤an+1?

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

?a₅≥13…（1），在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5?-15≤a₅≤25…（2）；（1）、（2）聯立能得到第五項a₅的取值范圍．

解答：解：∵

an+an+2

2

≤an+1，∴

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

，
∴

a10-a1

10-1

≤

a5-a1

5-1

，把a₁=1，a₁₀=28代入，得a₅≥13…（1）．
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5，得b₅=25-30+10=5，
∴-20≤a₅-b₅≤20，∴-15≤a₅≤25…（2）．
（1）、（2）聯立得13≤a≤25．
答案：[13，25]．

點評：本題具有一定的難度，解題時要注意公式的合理轉化．