Question

對于數列{a_n}，我們把a₁+a₂+…+a_n+…稱為級數，設數列{a_n}的前n項和為S_n，如果存在，，那么級數a₁+a₂+…+a_n+…是收斂的．下列級數中是收斂的有    （填序號）
①1+r+r²+…+r^n-1+…；②；③．

Answer 1

【答案】分析：由題意對于數列{a_n}，我們把a₁+a₂+…+a_n+…稱為級數，設數列{a_n}的前n項和為S_n，如果存在，，那么級數a₁+a₂+…+a_n+…是收斂的，有收斂的定義可知，只需判斷一下3個數列的前n項和的極限存在即可．
解答：解：對于①，由于r∈R，所以要討論r的值再求前n項喝的極限，（1）當r=0時，此數列為常數列．所以極限存在為0，（2）當r=1時，此數列仍為常數列1，前n項和為n，此時不存在極限，所以①錯；
對于②此數列的通項為，此數列的前n項和記為：=，
所以，極限存在，故此數列收斂，所以②正確；
對于③此數列的通項為=b_n，次數列的前n項和為 
   
利用錯位相減法①-②得：⇒，所以，極限存在，故此數列收斂，所以③正確．
故答案為：②③．
點評：此題考查了學生對于新定義的理解及計算能力，數列的求和，數列求極限．