Question

已知兩個命題r（x）：sin x+cos x＞m，s（x）：x²+mx+1＞0．如果對?x∈R，r（x）與s（x）有且僅有一個是真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：若對?x∈R，r（x）與s（x）有且僅有一個是真命題，則使兩個命題成立的實數m的范圍，不可能同時滿足，也不可能同時不滿足，使兩個命題成立的實數m的范圍，然后構造關于m的不等式，即可得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≥-

2

，
∴當r（x）是真命題時，m＜-

2

．
又∵對?x∈R，s（x）為真命題，即x²+mx+1＞0恒成立，有△=m²-4＜0，∴-2＜m＜2．
∴當r（x）為真，s（x）為假時，m＜-

2

，
同時m≤-2或m≥2，即m≤-2，
當r（x）為假，s（x）為真時，m≥-

2

且-2＜m＜2，
即-

2

≤m＜2．
綜上所述，m的取值范圍是m≤-2或-

2

≤m＜2．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中使兩個命題成立的實數m的范圍，是解答本題的關鍵．