Question

已知兩個命題r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x²+mx+1＞0．如果對?x∈R，r（x）與s（x）有且僅有一個是真命題．求實數m的取值范圍

{m|m≤-2或-

2

≤m＜2}

．

Answer 1

分析：先求出命題r（x）與s（x）成立的等價條件，利用r（x）與s（x）有且僅有一個是真命題．確定實數m的取值范圍．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≥-

2

，
∴要使sinx+cosx＞m恒成立，則m＜-

2

，
即：r（x）：m＜-

2

．
若x²+mx+1＞0成立，則△=m²-4＜0，
解得-2＜m＜2，
即s（x）：-2＜m＜2．
若對?x∈R，r（x）與s（x）有且僅有一個是真命題，
若r（x）為真，s（x）為假，則

m＜- 2 m≥2或m≤-2

，解得m≤-2．
若r（x）為假，s（x）為真，則

m≥- 2 -2＜m＜2

，解得-

2

≤m＜2．
綜上：m≤-2或-

2

≤m＜2．
故答案為：{m|m≤-2或-

2

≤m＜2}．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用函數的性質求出命題成立的等價條件是解決的關鍵．