Question

已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，面積為S_△ABC，且，．
（1）求函數(shù)在區(qū)間[0，]上的值域；
（2）若a=3，且，求b．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得到•=0，根據(jù)兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABC=bcsinA，代入得到的關(guān)系式中，化簡后得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得出A的度數(shù)，將A的度數(shù)代入函數(shù)f（x）的解析式中，并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，可得到此時正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而求出函數(shù)的值域；
（2）由sin（B+）的值，得到B+的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（B+）的值，然后把B化為（B+）-，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將各自的值代入，求出sinB的值，再由sinA及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）∵，，
∴•=（b²+c²-a²）sinA-2S_△ABC=0，
又a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，且S_△ABC=bcsinA，
∴2bccosAsinA-2×bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，
∴cosA=，又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=，
函數(shù)=4cosxsin（x-）
4cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，
∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，
∴-≤sin（2x-）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
則f（x）的值域為[-2，1]；
（2）由sin（B+）=，得到＜B+＜π，
∴cos（B+）=-=-，
∴sinB=[（B+）-]
=sin（B+）cos-cos（B+）sin
=×+×=，
又a=3，sinA=，
∴由正弦定理=得：b==1+．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．