Question

如圖，過點P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切線，切點為Q₁，設Q₁點在x軸上的投影是點P₁；又過點P₁作曲線C的切線，切點為Q₂，設Q₂在x軸上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列點Q₁，Q₂，…，Q_n，…，設點Q_n的橫坐標為a_n．
（Ⅰ）試求數列{a_n}的通項公式a_n；（用k的代數式表示）
（Ⅱ）求證：an≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

i

ai

＜k2-k（注：

n

i=1

ai=a1+a2+…+an）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲線C：y=x^k，求導得切線斜率，切點Q_n的坐標（a_n，a_n^k），得切線方程，切線過點P_n-1（a_n-1，0），代入方程，得關于數列{a_n}項的關系式，變形得出數列{a_n}為等比數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把每一項的分子用錯位相減法都化為1，然后用等比數列的前n項和求解．
（Ⅲ）先求出

i

ai

的表達式，進而求得其前n項和的表達式，利用錯位相減法即可證明

1

k

Sn＜k-1，進而可以證明

n

i=1

i

ai

＜k2-k．

解答：解：（Ⅰ）∵y=x^k
∴y'=kx^k-1，若切點是Q_n（a_n，a_n^k），
則切線方程為y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
當n=1時，切線過點P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），得a1=

k

k-1

當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），解得

an

an-1

=

k

k-1

．
∴數列{a_n}是首項為

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數列，
故所求通項an=(

k

k-1

)n，n∈N*．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知．
∴an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=C_n⁰+C_n¹

1

k-1

+C_n²(

1

k-1

)2+…+C_nⁿ(

1

k-1

)n≥C_n⁰+C_n¹

1

k-1

=1+

n

k-1

；
（Ⅲ）設Sn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，
則

k-1

k

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

，
兩式相減得（1-

k-1

k

）Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

；
∴

1

k

Sn＜

k-1 k [1-( k-1 k )n]

1- k-1 k

＜k-1，
故S_n＜k²-k．（14分）

點評：本題主要考查數列、導數、不等式和數學歸納法等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及邏輯推理、抽象概括能力，運算求解能力和創新意識，此題有點難度，是各地高考的熱點，需要同學們掌握．