Question

如圖，過點P（1，0）作曲線C：y=x²（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q₁，設點Q₁在x軸上的投影是點P₁；又過點P₁作曲線C的切線，切點為Q₂，設Q₂在x軸上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列點Q₁，Q₂，Q₃-Q_n，設點Q_n的橫坐標為a_n．
（1）求直線PQ₁的方程；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記Q_n到直線P_nQ_n+1的距離為d_n，求證：n≥2時，++…＞3．

Answer 1

解：（1）令Q₁（a₁，a₁²），由y′=2x得…（1分）
即 故a₁=2…（2分）
∴k_QP=4，則切線l₁的方程為：4x-y-4=0…（4分）
（2）令Q_n（a_n，a_n²），則Q_n-1（a_n-1，a_n-1²），P_n-1（a_n-1，0），
∴…（5分）
化簡得，（n≥2），…（6分）
故數列{a_n}是以2為首項2為公比的等比數列…（7分）
所以a_n=2ⁿ…（9分）
（3）由（2）知P_n-1（2ⁿ，0），Q_n-1（2ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺²），Q_n（2ⁿ，2²ⁿ），
故，∴：2ⁿ⁺²x-y-2²ⁿ⁺²=0…（10分）
∴=＜=．…（11分）
∴…（12分）
故++…＞=4×=4[1-]＞4＞3．…（14分）
分析：（1）求出函數的導數，利用斜率相等，求出a₁，然后求直線PQ₁的方程；
（2）通過求解函數的導數與切線的斜率，判斷數列{a_n}是等差數列，然后求出它的通項公式；
（3）利用Q_n到直線P_nQ_n+1的距離為d_n，通過公式利用基本不等式，即可通過累加法證明n≥2時，++…＞3．
點評：本題考查數列與函數的綜合應用，函數的導數與直線的切線的關系，點到直線的距離公式的應用，基本不等式以及累加法證明不等式的方法，考查計算能力．