Question

ω是正實數，設S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函數}，若對每個實數a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超過2個，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個元素，則ω的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函數}，推出S_ω的范圍，S_ω∩（a，a+1）的元素不超過2個，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個元素，
推出

2

2ω

π＜1且2×

2

2ω

π≥1，求得ω的范圍．

解答：解：S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函數}?S_ω={θ=

2k+1

2ω

π，k∈Z}={-

3

2ω

π，-

1

2ω

π，

1

2ω

π，

3

2ω

π}
因為對每個實數a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超過2個，
且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個元素，也就是說S_ω中任意相鄰的兩個元素之間隔必小于1，
并且S_ω中任意相鄰的三個元素的兩間隔之和必大于等于1，
即

2

2ω

π＜1且2×

2

2ω

π≥1；
解可得π＜ω≤2π．
故答案為：（π，2π]

點評：本題考查余弦函數的奇偶性，集合的包含關系判斷及應用，考查計算推理能力，是中檔題．