Question

【題目】如圖，的三條內(nèi)線段、、交于點(diǎn)、用紅、藍(lán)兩種顏色對(duì)的三條邊線和三條內(nèi)線段染色，使同色的三線不交于一點(diǎn).證明：在圖中所有的三角形中，至少存在兩個(gè)同色三角形，且它的各邊或延長(zhǎng)線被另一線截得的兩線段之比的和大于3.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

根據(jù)抽屜原理，在三條邊線和二條線這6條線中，至少有3條是同色的，設(shè)共為紅色.則紅線的條數(shù)為5，4或3.

（1）若有5條紅線，則必有3條紅線交于一點(diǎn)，不合題意.

（2）若有4條紅線，可分兩類：

（i）如果3條是邊線.1條是內(nèi)線或1條邊線、3條內(nèi)線時(shí)，則都存在3條紅線交于一點(diǎn)，不合題意.

（ii）如果邊線和內(nèi)線各有兩條時(shí)，不妨沒邊線為、，則內(nèi)線只能是、.這時(shí)、都是紅色三角形，它們分別被直線、所截.

若被直線所截.由梅氏定理.有.

由均值不等式，得.

因?yàn)?/span>下成立，所以上式等號(hào)不能成立.

故.

（3）若有3條紅線，可分三類：

（i）如果3條都為邊線或都為內(nèi)線時(shí)，顯然都不符合題意.

（ii）如果兩條為邊線，1條為內(nèi)線時(shí)，設(shè)邊線為、，則內(nèi)線必為或.不妨設(shè)為.此時(shí)為紅色三角形，為藍(lán)色三角形，結(jié)論成立.

（iii）如果1條為邊線，兩條為內(nèi)線時(shí)，相當(dāng)于兩條邊線為藍(lán)線.1條內(nèi)線為藍(lán)線，由（ii）知，結(jié)論成立.

綜合（1）、（2）、（3）知，命題成立.