Question

【題目】已知分別是直線和上的兩個動點，線段的長為，是的中點．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若過點（1,0）的直線與曲線交于不同兩點．

①當時，求直線的方程；

②試問在軸上是否存在點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① 或；②存在，點，.

【解析】

試題分析：（1）本問考查求軌跡方程的直接法，即根據題中已知條件，轉化為關于定點的坐標表示，首先設點，，，根據中點坐標公式有，，再根據兩點間距離公式表示出線段的長度，于是可以整理得到關于點的方程，即為所求軌跡；（2）①本問主要考查直線與圓相交，有關弦長問題，可以根據垂徑定理進行求解，注意對直線的斜率是否存在進行討論；②本問主要考查解析幾何中直線與圓的問題，首先假設存在點使得為定值，把直線方程與圓的方程聯立，消去未知數，得到關于的一元二次方程，設點，，表示出，的值，然后將用坐標表示出來，得到關于的表達式，若為定值，則分母應為分子的倍數，可以采用待定系數法求解.

試題解析：（1）設點，，，則，，

又根據題意①，②，且，

所以由①②得：，所以，即，

所以動點的軌跡的方程為：；

（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，經計算，此時，不符合題意；

當直線的斜率存在時，設方程為，圓心到直線的距離，

根據垂徑定理有：，

解得，所以，

所以直線的方程為或；

②假設存在點使得為定值，

當直線的斜率存在時，設方程為，

由消去得:,

易知成立，設點，，則，，

若為定值，則必有，解得，點，

所以，

當直線斜率不存在時，方程為，此時，，此時，

綜上所述，當點時，為定值.