【題目】已知函數
.
⑴當
，求函數
在區間
上的極值；
⑵當
時，函數
只有一個零點，求正數
的值．
【答案】（1） 
在區間
上只有極大值，無極小值，且
； （2）
.
【解析】
試題分析：（1）當
時，求函數
的導數，在區間研究導數的符號及函數的單調性，即可求函數的極值；（2）函數
只有一個零點，等價于方程
只有一個實數解，即
只有唯一正實數解,構造函數
，求其導數，由導數討論函數
的單調性與極值，即可求
的值.
試題解析： （1）當
時，
，
由
得
，
當
時，
上單調遞增，
當
時，
上單調遞減，
上只有極大值，無極小值，且
（2）
只有一個零點，等價于方程只有一個實數解，即只有唯一正實數解.設
，則
，令
，
解得：
…7分
當
時，
在上單調遞減；
當
時，
在上單調遞增；
.
要使得方程只有唯一實數解，
則
，得
，
設
恒成立，故
在（0，+∞）單調遞增，
至多有一解．又
，
∴
，即
解得
．
優質課堂快樂成長系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某志愿者到某山區小學支教，為了解留守兒童的幸福感，該志愿者對某班40名學生進行了一次幸福指數的調查問卷，并用莖葉圖表示如下（注：圖中幸福指數低于70，說明孩子幸福感弱；幸福指數不低于70，說明孩子幸福感強）.
（Ⅰ）根據莖葉圖中的數據完成
列聯表，并判斷能否有
的把握認為孩子的幸福感強與是否是留守兒童有關？
（Ⅱ）從15個留守兒童中按幸福感強弱進行分層抽樣，共抽取5人，又在這5人中隨機抽取2人進行家訪，求這2個學生中恰有一人幸福感強的概率.
參考公式： 
； 附表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某校學生的視力情況，現采用隨機抽樣的方式從該校的
兩班中各抽5名學生進行視力檢測，檢測的數據如下：
班5名學生的視力檢測結果是： 
.
班5名學生的視力檢測結果是： 
.
（1）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪個班的學生視力較好？并計算
班的5名學生視力的方差；
（2）現從
班上述5名學生中隨機選取2名，求這2名學生中至少有1名學生的視力低于
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別是直線
和
上的兩個動點，線段
的長為
，
是
的中點．
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）若過點（1,0）的直線
與曲線交于不同兩點
．
①當
時，求直線
的方程；
②試問在
軸上是否存在點
，使
恒為定值？若存在，求出
點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
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