Question

已知f(x)＝x³＋mx²－x＋2(m∈R)

如果函數的單調減區間恰為(－，1)，求函數f(x)的解析式；

(2)若f(x)的導函數為f '(x)，對任意x∈(0，＋∞)，不等式f '(x)≥2xlnx－1恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)＝x³－x²－x＋2

       （2）m的取值范圍是[ln2－ln3e，＋∞).

解析:

(1)f '(x)＝3x²＋2mx－1，

由題意，f '(x)＝3x²＋2mx－1＜0的解集是(－，1)，

即3x²＋2mx－1＝0的兩根分別為－，1，將x＝1或－代入方程3x²＋2mx－1＝0得m＝－1，

∴f(x)＝x³－x²－x＋2，

(2)由題意知3x²＋2mx－1≥2xlnx－1在x∈(0，＋∞)恒成立，

即m≥lnx－x在x∈(0，＋∞)恒成立，

設h(x)＝lnx－x，則h'(x)＝－，

令h'(x)＝0得x＝，

當0＜x＜時，h'(x)＞0；當x＞時，h'(x)＜0，

∴當x＝時，h(x)取得最大值為ln－1＝ln2－ln3e，

表明m≥ln2－ln3e，

因此m的取值范圍是[ln2－ln3e，＋∞).