Question

 

如圖，已知橢圓的離心率

為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點

為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線

的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于項點

的任一點，直線和與橢圓的交點分別為A、

B和C、D.

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

   （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明：；

   （Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

  

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，

所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為。

   （II）設點

所以在雙曲線上，

所以有

所以

   （III）假設存在常數，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立，則由（II）知

，所以設直線AB的方程為

則直線CD的方程為

由方程組

設

所以，同理可得

    又因為|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，所以有

   【命題意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力。