Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的焦點分別為A、B和C、D。

（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂=1

（3）是否存在常數(shù)，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？

若存在，求的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，得，，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；  ……2

所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。        …………4

（Ⅱ）設(shè)點P（，），=，=，∴=…6

點P（，）在雙上，有，即，∴=1  ……8

（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則由（Ⅱ）知，所以設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，

由方程組消y得：，設(shè)，，

則由韋達定理得：     ……………9

所以|AB|==，同理可得     ……………10

|CD|===，  …………11

又因為，

所以有=+=，

所以存在常數(shù)，成立。 

【解析】略