Question

4．已知函數f （x）=$\frac{1}{x{\;}^{2}-1}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）解x²-1≠0得f（x）的定義域；
（2）函數f（x）在（1，+∞）上為減函數
證法一：求導，分析導函數在（1，+∞）上的符號，可得結論；
證法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，作差比較f（a）與f（b）的大小，結合單調性的定義，可得結論；

解答 解：（1）由x²-1≠0得：x≠±1，
故函數f （x）=$\frac{1}{x{\;}^{2}-1}$的定義域為：{x|x≠±1} 
（2）函數f（x）在（1，+∞）上為減函數，理由如下：
證法一：∵f （x）=$\frac{1}{x{\;}^{2}-1}$．
∴f′（x）=$\frac{-2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$．
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，
故函數f（x）在（1，+∞）上為減函數；
證法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，
則a²-1＞0，b²-1＞0，b+a＞0，b-a＞0，
則f（a）-f（b）=$\frac{1}{{a}^{2}-1}$-$\frac{1}{{b}^{2}-1}$=$\frac{{（b}^{2}-1）-{（a}^{2}-1）}{{（a}^{2}-1）{（b}^{2}-1）}$=$\frac{{（b}^{\;}-a）•（b+a）}{{（a}^{2}-1）{（b}^{2}-1）}$＞0，
故f（a）＞f（b），
故函數f（x）在（1，+∞）上為減函數；

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的定義域，難度中檔．