Question

設f(x)=

1-x2

1+x2

(x∈R)
（1）求證：f(

1

x

)=-f(x)，(x≠0)；
（2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+f(

1

5

)+…+f(

1

2008

)．

Answer 1

分析：（1）先把f(x)=

1-x2

1+x2

(x∈R)中所有的x都換成

1

x

，得到f(

1

x

)，然后進行整理能證出f(

1

x

)=-f(x)，(x≠0)．
（2）由f(

1

x

)+f(x)=0知f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+f(

1

5

)++f(

1

2008

)．=f（1）+f（2），從而得到結果．

解答：解：（1）因為f(

1

x

)=

1-( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2-1

x2+1

，f(x)=

1-x2

1+x2

，（4分）
所以f(

1

x

)=-f(x)，(x≠0)；（6分）
（2）由（1）知f(

1

x

)+f(x)=0（3） （8分）
所以f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+f(

1

5

)++f(

1

2008

)．
=f（1）+f（2）   （12分）
=0+

-3

5

=-

3

5

   （14分）．

點評：本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數性質的合理運用．