【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)函數(shù)與函數(shù)
圖象的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點時,求實數(shù)a的取值集合;
(2)證明:當(dāng)時,函數(shù)
有兩個零點
,且滿足
.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)求出公切線方程,再將公切線方程與函數(shù)
聯(lián)立,表示
,再構(gòu)造函數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和值域,可求出a的取值;
(2)要證有兩個零點,只要證
有兩個零點即可,而
時函數(shù)
的一個零點,所以只需再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的性質(zhì)即可,由于兩個零點,一個是
,另一個在區(qū)間
上,若設(shè)
則
, 所以只需利用導(dǎo)數(shù)證明
即可 .
解:(1)設(shè)公切線l與函數(shù)的切點為
,則公切線l的斜率
,公切線l的方程為:
,將原點坐標(biāo)
代入,得
,解得
,公切線l的方程為:
,
將它與聯(lián)立,整理得
.
令,對之求導(dǎo)得:
,令
,解得
.
當(dāng)時,
單調(diào)遞減,值域為
,
當(dāng)時,
單調(diào)遞增,值域為
,
由于直線l與函數(shù)相切,即只有一個公共點,
故實數(shù)a的取值集合為.
(2)證明:,要證
有兩個零點,只要證
有兩個零點即可.
,即
時函數(shù)
的一個零點.
對求導(dǎo)得:
,令
,解得
.當(dāng)
時,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
單調(diào)遞減.當(dāng)
時,
取最小值,
,
,必定存
在使得二次函數(shù)
,
即.因此在區(qū)間上
必定存在
的一個零點.
練上所述,有兩個零點,一個是
,另一個在區(qū)間
上.
下面證明.
由上面步驟知有兩個零點,一個是
,另一個在區(qū)間
上.
不妨設(shè)則
,下面證明
即可.
令,對之求導(dǎo)得
,
故在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,
,即
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,
為邊
的中點,將
沿直線
翻轉(zhuǎn)成
(
平面
).若
分別為線段
的中點,則在
翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法正確的是( )
A.與平面垂直的直線必與直線
垂直
B.異面直線與
所成的角是定值
C.一定存在某個位置,使
D.三棱錐外接球半徑與棱
的長之比為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知多面體,其底面
為矩形,四邊形
為平行四邊形,平面
平面
,
,
,
是
的中點.
(1)證明:平面
;
(2)求直線與平面
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義域均為D的三個函數(shù),
,
滿足條件:對任意
,點
與點
都關(guān)于點
對稱,則稱
是
關(guān)于
的“對稱函數(shù)”.已知函數(shù)
,
,
是
關(guān)于
的“對稱函數(shù)“,記
的定義域為D,若對任意
,都存在
,使得
成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A..B..
C..
D..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形和菱形
所在平面互相垂直,如圖,其中
,
,
,點
為線段
的中點.
(Ⅰ)試問在線段上是否存在點
,使得直線
平面
?若存在,請證明
平面
,并求出
的值,若不存在,請說明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“二進制”來源于我國古代的《易經(jīng)》,該書中有兩類最基本的符號:“─”和“﹣﹣”,其中“─”在二進制中記作“1”,“﹣﹣”在二進制中記作“0”.如符號“”對應(yīng)的二進制數(shù)011(2)化為十進制的計算如下:011(2)=0×22+1×21+1×20=3(10).若從兩類符號中任取2個符號進行排列,則得到的二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于2的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】受新冠肺炎疫情影響,某學(xué)校按上級文件指示,要求錯峰放學(xué),錯峰有序吃飯.高三年級一層樓六個班排隊,甲班必須排在前三位,且丙班、丁班必須排在一起,則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有( )
A.240種B.120種C.188種D.156種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)不需證明,直接寫出的奇偶性:
(Ⅱ)討論的單調(diào)性,并證明
有且僅有兩個零點:
(Ⅲ)設(shè)是
的一個零點,證明曲線
在點
處的切線也是曲線
的切線.
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