Question

【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如圖，其中， ， ，點為線段的中點．

（Ⅰ）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值，若不存在，請說明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）因為，所以在同一平面，取的中點，連結，交點即為所求點，因為；（2）根據底面菱形，根據余弦定理求，三邊滿足勾股定理，所以， 平面，所以以建立空間直角坐標系，分別計算平面和平面的法向量，求法向量夾角的余弦值，再求正弦值.

試題解析：（1）取的中點，連接交于點， 點即為所求的點.

證明：連接，

∵是的中點， 是的中點，

∴，

又平面， 平面，

∴直線平面.

∵，

∴，

∴.

（2）由（1）知，

又面面，面 面， 面，

所以面.

故.

以為空間原點， 分別為軸建立空間直角坐標系，

∵，

∴為正三角形， ，

∴，

∴.

設平面的一個法向量，則由可得

令，則.

設平面的一個法向量，則由可得

令，則.

則，

設二面角的平面角為，則，

∴二面角的正弦值為.