Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+10x(x∈R)．
（1）若a=3，點P為曲線y=f（x）上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；
（2）若函數y=f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出切線的斜率為k，把a=3代入f（x）確定出解析式，根據f（x）的解析式求出導函數，根據二次函數求最值的方法得到導函數的最小值即為斜率k的最小值，然后把x=3代入f（x）中求出f（3）即為切點的縱坐標，得到切點坐標，根據切點坐標和斜率k的最小值寫出切線方程即可；
（2）求出f（x）的導函數，由函數在x大于0時為增函數，得到對于x大于0時，導函數值恒大于等于0，令導函數大于等于0，解出a小于等于一個關系式，利用基本不等式求出這個關系式的最小值，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）設切線的斜率為k，
則f'（x）=x²-6x+10=（x-3）²+1，（2分）
顯然當x=3時切線斜率取最小值1，
又f（3）=12，（4分）
∴所求切線方程為y-12=x-3，即x-y+9=0．（6分）
（2）f'（x）=x²-2ax+10．（8分）
∵y=f（x）在x∈（0，+∞）為單調遞增函數
即對任意的x∈（0，+∞），恒有f'（x）≥0，（10分）
即f'（x）=x²-2ax+10≥0．
∴a≤

x2+10

2x

=

x

2

+

5

x

，（12分）
而

x

2

+

5

x

≥

10

，當且僅當x=

10

時，等號成立，
∴a≤

10

．（14分）

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握不等式恒成立時滿足的條件，掌握函數的單調性與導數的關系，會利用基本不等式求函數的最小值，是一道中檔題．