Question

【題目】已知函數 (為常數， 為自然對數的底數）．

（Ⅰ）當時，討論函數在區間上極值點的個數；

（Ⅱ）當， 時，對任意的都有成立，求正實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）第一步求函數的導數，第二步再設，并且求以及時， ，分析函數的單調性，得到函數的取值范圍，并且根據 ，討論和函數的極值以及端點值的大小關系，得到函數的極值點的個數；（Ⅱ）不等式等價于 ，求的最大值小于的最小值，即求得的取得范圍.

試題解析：（Ⅰ） 時， ，記，

則， ，

當時， ， 時， ，

所以當時， 取得極小值，又， ，

，所以

（ⅰ）當,即時， ，函數在區間上無極值點；

（ⅱ）當即時， 有兩不同解，

函數在區間上有兩個極值點；

（ⅲ）當即時， 有一解，

函數在區間上有一個極值點；

（ⅳ）當即時， ，函數在區間上

無極值點；

（Ⅱ）當時，對任意的都有，

即，即

記， ，

由，當時， 時， ，

所以當時， 取得最大值，

又，當時， 時， ，

所以當時， 取得最小值，

所以只需要 ，即正實數的取值范圍是．