Question

【題目】若定義在上的函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若，，滿足，則稱比更接近.當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時， 單調遞增區間為；當時， 單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）比更接近，理由見解析.

【解析】

（1）對求導，分和進行討論，研究的正負情況，從而得到的單調區間；（2）設，，

利用導數研究出和在的單調性和正負情況，分和進行討論，得到和的大小關系，從而得到答案.

（1）函數，

求導得到，

當時，，函數在上單調遞增；

當時，由，得到，

所以時，，單調遞減，

時，，單調遞增，

綜上所述，當時， 單調遞增區間為；當時， 單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）設，

所以，所以在時單調遞減，

又因為

所以當時，當時，.

而，設，則，

所以在上單調遞增，即在上單調遞增，

而，所以時，，

所以在時單調遞增，且，

所以.

①當時，

設，則

所以在單調遞減，.

又因為，所以，

所以

所以比更接近.

②當時，， ，

設，則，

設，，

所以在上單調遞減，即在上單調遞減，

所以

所以在上單調遞減，

所以，即，

所以比更接近.

綜上所述，當且時，比更接近.